На драфте НХЛ 1980 года «Эдмонтон» выбрал 20-летнего Курри только в четвёртом раунде, но агент игрока Барри Фрэйзер вспоминает, что оказанное им влияние на выбор командой Яри Курри — «было лучшим достижением в его карьере».

Могло случиться, что Курри в 1980 году не начал бы играть в НХЛ. «По моему мнению я ещё не был готов к игре в НХЛ», — вспоминает Курри. Но всё-таки «Эдмонтон» уговорил начать его игровую карьеру за океаном. Грёзы об НХЛ стали реальностью.

Курри — габаритный и умный игрок, к тому же обладающий неплохим катанием и хорошим броском. Когда он стал играть в паре с Уэйном Гретцки, его карьера пошла резко вверх. В первой же игре Яри сделал хет-трик. А в первом сезоне Курри набирает в среднем одно очко за игру (75 очков в 75 матчах). Это великолепные показатели и покорялись они немногим.

Первый свой Кубок Стэнли Курри выиграл на четвёртый год пребывания в НХЛ. «Первый всегда первый, в любой точке мира и запоминается на всю жизнь», — комментировал Курри после окончания своей карьеры. В 1990 году, когда «Ойлерз» выиграли пятый кубок, но уже без Гретцки, успехи Яри Курри были замечены и на родине — он был выбран в Финляндии вторым спортсменом года.

В конце сезона 1990 года Курри получает предложение от своего бывшего партнёра по «Ойлерз» Гретцки перебраться в Лос-Анджелес. Но по существовавшим тогда правилам НХЛ, игрок «европеец» не мог перейти из клуба в клуб напрямую, также не мог быть обменян. Игрокам предлагалось провести один сезон в любой лиге кроме НХЛ, после чего, он имел право вернуться в любой клуб НХЛ. Такое правило было в силе до середины 90-х, когда влияние европейцев вынудило руководство лиги пересмотреть правила. Курри переезжает в Италию, где выступает за клуб «Милано Девилз» (97 очков в 40 матчах). Выступление звезды такого масштаба, как Яри Курри, оставило огромный след в развитии итальянского хоккея, сам Яри приложил к этому немало усилий.

Осенью 1991 года, после окончания Кубка Канады, Курри снова начал играть в НХЛ. Нападающий заключил контракт с «Лос-Анджелес Кингз» и снова оказался на площадке в паре с Гретцки. В Калифорнии он отыграл пять сезонов, с перерывом на локаут, на время которого Яри вернулся в вырастивший его «Йокерит». Только первые три сезона из пяти, проведённых с стане «Королей», вполне можно назвать удачными: 224 балла за результативность в 236 матчах. А вот 69 очков в 95 матчах двух последующих сезонов не впечатлили ни боссов команды, ни самого игрока. А тем временем владельцы «Королей» затеяли омоложение команды, и в 1996 году Курри был продан в «Нью-Йорк Рейнджерс». Там было много именитых игроков, знакомых ещё со времён выступления за «Ойлерз», но Кубок Стэнли-96 команде не покорился — в полуфинале конференции их остановил «Питтсбург Пингвинз».

До начала сезона 1996/1997 года Курри принял решение, что будет играть ещё только два года. Имея статус «неограниченно свободного агента», он заключает контракт с «Могучими Утками» из Анахайма. Так как сезон не зада́лся (13 заброшенных шайб и 22 передачи в 82 матчах) — Курри пришлось переехать в «Колорадо Эвеланш». В новой команде он получал мало игрового времени и самым значительным событием этого времени оказался 600-й гол, забитый за карьеру. Как позже оказалось, это был его предпоследний гол в заокеанской карьере. Последнюю игру Курри наблюдал с трибуны, когда его команда уже в первом круге плей-офф проиграла «Эдмонтону». «Досадно, что карьера закончилась таким образом», — комментировал Курри.

Достижения Курри из европейских хоккеистов удалось превзойти только Яромиру Ягру и его соотечественнику Теему Селянне, забросившему 600 шайб за «Анахайм», но первым европейцем, достигшим таких высот, был Яри Курри. Да и на фоне североамериканских звёзд его показатели выглядят впечатляюще.

После завершения игровой карьеры Курри продолжает работать в хоккейной среде, некоторое время он был генеральным менеджером сборной Финляндии по хоккею.

Достижения и награды

Обладатель Кубка Стэнли — 1984, 1985, 1987, 1988 и 1990 года

Третье место по результативности среди европейских игроков НХЛ по системе «гол плюс пас» (общее 20-е) — 1398

Леди Бинг Трофи — 1985 год

Девять раз он участвовал в матчах всех звёзд НХЛ

Бронзовые медали на турнире Кубок Канады 1991 года.

Бронзовые медали олимпийских игр в Нагано 1998 года.

Член Зала хоккейной славы в Торонто.