В 1994 году он возглавил российское подразделение компании Electrolux Home Appliances.

В 2000 году был назначен генеральным директором Philips Consumer Electronics в России, а в 2005 году стал вице-президентом и вошел в состав совета директоров европейского подразделения Philips Consumer Electronics. В 2008 году Страшнов был назначен вице-президентом и генеральным директором нового объединенного подразделения Philips в России — Philips Consumer Lifestyle.

В апреле 2009 года Страшнов был назначен директором по операциям российской части европейского телекоммуникационного холдинга Tele2 — Tele2 Россия, в июле 2009 года занял пост президента и генерального директора Tele2 Россия, а также вошел в исполнительный совет директоров Tele2 AB. 31 декабря 2012 года он покинул пост руководителя «Tele2 Россия».

19 апреля 2013 года Страшнов назначен гендиректором ФГУП «Почта России», сменив на этом посту Александра Киселёва, который возглавлял предприятие с февраля 2009 года. Оклад Страшнова на этом посту в 2013 году составил 230 тыс. рублей в месяц без учёта надбавки за допуск к секретным сведениям, что составляет ещё 50% от ежемесячного оклада.

В январе 2016 года вошёл в состав наблюдательного совета ПАО «Почта Банк».

Расследование по фактам выплаты многомиллионной премии

В конце ноября 2016 года в отношении Страшнова начата доследственная проверка по факту начисления и выплаты ему в 2014 году бонуса-вознаграждения в размере 95,4 млн рублей. По оценке Генпрокуратуры РФ, премия Страшнова многократно завышена и должна была составлять всего 3,2 млн руб. Выплата гендиректору бонуса по результатам финансовой деятельности «Почты России» нанесла существенный вред государственному унитарному предприятию. Генпрокуратура направила материалы проверки в отношении двух директоров департаментов Минкомсвязи, принимавших решение о выплате премии, в Следственный комитет РФ для оценки наличия признаков преступления. Минкомсвязь выразила мнение о некорректности расчётов Генпрокуратуры в отношении премии главы «Почты России». При Страшнове «Почта России» , повысив тарифы на свои услуги на 11,4%, получила чистую прибыль в 2014 г. — она составила 1,2 млрд руб. Чистая прибыль оператора по итогам 2015 г. составила 1,578 млрд руб. (на 28 % выше, чем в 2014 году), по итогам 9 месяцев 2016 года прибыль «Почты России» составила 1,2 млрд рублей. В феврале 2017 года глава Минкомсвязи России Николай Никифоров полагал, что Страшнов работает эффективно, а само предприятие — развивается энергично.

22 февраля 2017 года стало известно, что Страшнов, будучи единоличным руководителем с персональной ответственностью и зная о поступлениях в 2014-2015 годах из федерального бюджета целевого финансирования на сумму 6,462 млрд. рублей, вопреки законным интересам «Почты России» премировал своих заместителей на общую сумму 269,3 млн рублей. Генпрокуратура потребовала от Следственного комитета Российской Федерации возбудить уголовное дело против Страшнова.