В 2005 году окончил институт «ЮЖДАГ».

После окончания института занимал различные должности в Совете Федерации Федерального Собрания Российской Федерации, в том числе в Правовом управлении Аппарата Совета Федерации Федерального Собрания Российской Федерации.

Был помощником члена Совета Федерации.

В 2009 году защитил диссертацию на соискание звания кандидата юридических наук по теме «Правовые основы государственного контроля в сфере исполнительной власти» в Московской государственной юридической академии имени О. Е. Кутафина.

С 2010 года проходил службу в Администрации Президента Российской Федерации, в том числе в управлении по вопросам государственной службы и кадров. В обязанности А. З. Завалунова входило правовое регулирование государственной гражданской службы РФ, службы в органах прокуратуры, службы в правоохранительных органах, правовое регулирование судебной системы и статуса судей, создание и упразднение судов, а также правовое регулирование деятельности федеральных государственных органов. Участвовал в обеспечении деятельности президиума Совета при Президенте России по противодействию коррупции. Артуром Завалуновым была организована работа по рассмотрению докладов федеральных органов исполнительной власти, иных государственных органов о выполнении поручений содержащихся в Национальном плане противодействия коррупции.

С 2014 года А. З. Завалунов занимался организационными вопросами юридического характера.

С 21 июля 2017 года — начальник правового управления Генпрокуратуры России.