Он прошёл путь от оперуполномоченного до начальника отделения уголовного розыска, начальника криминальной милиции ТОМ-3 УВД г. Кургана, начальника отдела по борьбе с незаконным оборотом наркотиков УВД г. Кургана.

В период служебной деятельности, обучаясь заочно, в 2000 году окончил Уральский юридический институт МВД России.

С 2002 по 2003 год руководил Отделом по борьбе с незаконным оборотом наркотиков УВД города Кургана.

В июле 2003 года назначен на должность начальника отдела милиции «Первомайский» УВД г. Кургана.

С 2006 по 2009 год был начальником Управления уголовного розыска УВД Курганской области.

С июля 2009 года — в органах внутренних дел Республики Карелия.

18 сентября 2009 года Приказом министра внутренних дел Российской Федерации подполковник милиции А.Ю. Потапов назначен первый заместитель министра, начальник Криминальной милиции МВД по Республике Карелия.

С июня 2011 года приказом министра внутренних дел Российской Федерации назначен заместителем министра — начальником полиции МВД по Республике Карелия. Эту должность он занимал до марта 2014 года. Вышел в отставку в звании полковника полиции.

После увольнения из органов внутренних, дел вернулся в Курган, работал в МКУ «Управление дорожного хозяйства и благоустройства».

16 марта 2015 года на совещании у губернатора Курганской области был представлен начальник Управления государственных закупок Курганской области.

31 августа 2016 года депутаты Курганской городской Думы утвердили А. Ю. Потапова Руководителем Администрации города Кургана. Перед началом тайного голосования были обнародованы итоги работы комиссии по проведению конкурса на замещение должности руководителя администрации. Её председатель, заместитель губернатора Курганской области по социальной политике Александр Карпов сообщил, что Андрей Потапов получил 82 балла. Его соперник, ведущий экономист курганского филиала Уральского отделения РАН Сергей Павлович Сынников получил оценку 42 балла. Третий претендент, который ещё в понедельник участвовал в индивидуальном собеседовании, директор ООО «Курганское телевидение» Алексей Асташин выбыл из гонки поскольку комиссия выявила в предоставленных Асташиным документах недостоверные сведения о доходах. Кандидатура А. Ю. Потапова была поддержана большинством голосов: за него проголосовало 22 депутата из 24, 2 депутата прогодлсовали за С.П. Сынникова. Ранее выбыли: директор ООО «Сток» Игорь Путин, заместитель директора департамента архитектуры города Кургана Виталий Кудрявцев и индивидуальный предприниматель Евгений Маслаков (сами сняли свои кандидатуры), у безработного Виктора Сединкина (ранее — руководитель кредитного отдела курганского филиала «Мособлбанка») оказалось недостаточно необходимого по условиям конкурса стажа работы.

5 сентября 2016 года приступил к исполнению полномочий Руководителям Администрации города Кургана.

19 июля 2017 года в сети Интернет была размещена информация агентства «Уральский меридиан» под заголовком «Зима близко. В Кургане назревает отопительный скандал». В качестве заглавного фото автор статьи блогер Илья Винштейн использовал мем «Зима близко» с отсылкой на сериал «Игра престолов». На оригинальном меме Эддард Старк угрюмо всматривается вдаль и постоянно повторяет: «Зима близко». Вместо лица Старка использовано лицо Андрея Потапова. 24 июля 2017 года в редакцию портала «Уральский меридиан направлено письмо № 2658, подписанное Первым заместителем Руководителя Администрации А.В. Жижиным в котором требуют удалить указанную информацию из сети Интернет. Параллельно власти обратились в Роскомнадзор с жалобой. 7 августа 2017 года региональное управление Роскомнадзора отклонило жалобу администрации на мем, потому что не нашло в этой картинке ничего оскорбительного. «Мы не усматриваем здесь каких-либо оскорблений и, скорее всего, посоветуем обращаться в суд», — сказала представитель Роскомнадзора Нина Крылова.

Награды

Имеет 65 наград и поощрений, в том числе:

Медаль «За доблесть в службе» (2011)
Медаль «За отличие в службе» I степени (2013)
Медаль «За отличие в службе» II степени (2008)
Медаль «За отличие в службе» III степени (2003)
Медаль «200 лет МВД России» (2002)
Медаль «90 лет уголовному розыску МВД России» (2008)
Памятная медаль «За доблесть в службе подразделений по борьбе с организованной преступностью МВД России» (2007)
Нагрудный знак «За отличную службу в МВД» (1996)
Нагрудный знак «За верность долгу» (2004)
Памятный нагрудный знак «90 лет милиции России» (2007)
Памятный знак «90 лет кадровой службы» (2008)
Почетная грамота за добросовестную службу (1997, 1998)
Благодарность за образцовую службу (1997, 1998, 2005)

Семейное положение

Женат, воспитывает двух сыновей.